Калькулятор об'єму — куб, сфера, циліндр та інші

Калькулятор об'єму визначає тривимірний простір, замкнений геометричною фігурою — загальна кількість матеріалу, необхідного для її заповнення, або простір, який вона займає. Цей калькулятор охоплює шість фундаментальних 3D фігур: куб (всі рівні сторони), прямокутний паралелепіпед (коробка з будь-якими розмірами), куля (ідеально кругле тіло), циліндр (кругла перерізна сторона з висотою), конус (звуження від кругової основи до точки) та піраміда (полігональна основа, що звужується до вершини).

Об'єм є однією з трьох фундаментальних геометричних вимірювань поряд з довжиною та площею. Перехід від площі до об'єму передбачає зведення в куб лінійного розміру — що означає, що малі зміни розмірів призводять до великих змін об'єму. Куля з подвійним радіусом має восьмеро більший об'єм. Куб зі сторонами на 10% довшими має на 33.1% більший об'єм.

Формули в цьому калькуляторі є результатами класичної геометрії, встановленої Евклідом, Архімедом та іншими грецькими математиками понад 2 000 років тому. Розрахунки об'єму лежать в основі замовлення бетону в будівництві, дозування ліків, оцінки місткості паливного баку та кожного застосування, де важлива тривимірна ємність.

Приклад 1 — Об'єм басейну: Прямокутний басейн: 12 м × 6 м × 1.5 м глибини V = 12 × 6 × 1.5 = 108 м³ = 108 000 літрів

Приклад 2 — Бетон для круглої колони: Циліндр: радіус = 0.3 м, висота = 3 м V = π × 0.09 × 3 = 0.848 м³ Для 10 колон: 8.48 м³ бетону загалом.

Приклад 3 — Об'єм кулі (водяний шар): Радіус = 0.08 м (8 см) V = (4/3) × π × 0.000512 = 0.002145 м³ = 2.145 літра

Приклад 4 — Ящик для зберігання: Коробка: 60 см × 45 см × 30 см V = 60 × 45 × 30 = 81 000 см³ = 81 літр

Розрахунки об’єму мають прямі фінансові наслідки в будівництві, виробництві та плануванні ресурсів. Будівельник, який недооцінює об’єм бетону, необхідного для фундаменту, змушений замовляти другу партію — зазвичай за підвищеною ціною та з додатковою затримкою. Виробник, який проєктує упаковку без точних розрахунків об’єму, може платити за кубічний повітряний простір у транспортних контейнерах. Домовласник, який заповнює підняту грядку, мусить замовити правильний об’єм верхнього шару ґрунту — зазвичай на 30–50% більше за розрахований об’єм через осідання та ущільнення.

У науці та медицині об’єм є основою для розрахунків дозування, хімічних реакцій і проєктування обладнання. Фармацевтичні крапельниці IV повинні містити точні об’єми; лабораторні реакційні посудини мають мати достатню ємність для реагентів плюс вільний простір; промислові хімічні реактори проєктуються з урахуванням об’єму матеріалу, що обробляється за одну партію. Взаємозв’язок між об’ємом і концентрацією (кількість на одиницю об’єму) є основою хімії розчинів. 1-молярний розчин натрію хлориду містить 58,44 грама на літр — знання необхідного об’єму розчину безпосередньо визначає масу розчиненої речовини, яку потрібно зважити.

У повсякденному споживчому контексті грамотність у питаннях об’єму впливає на рішення про покупку. Більша пляшка часто є вигіднішою за ціною за одиницю об’єму — але лише якщо співвідношення ціни до об’єму насправді нижче. Пляшка 750 мл за $8 коштує $10,67 за літр; пляшка 1,5 л за $14 коштує $9,33 за літр. Порівняння розмірів контейнерів для їжі (6 унцій проти 8 унцій), місткості баків для води та об’ємів побутових приладів потребує розрахунків об’єму для обґрунтованого порівняння. Той самий принцип застосовується в промислових масштабах: закупівля сипучих матеріалів потребує перетворення об’єму в масу та порівняння ціни за одиницю об’єму.

Цей калькулятор охоплює шість базових геометричних фігур. Він не обчислює об’єми неправильних форм, складених об’єктів (фігура з видаленою частиною) або фігур з вигнутими поверхнями, окрім сфер, циліндрів і конусів. Для складних промислових або архітектурних форм чисельні методи або CAD-програми (AutoCAD, SolidWorks, Rhino) можуть обчислювати об’єми довільних 3D-об’єктів з цифрових моделей.

Усі формули припускають ідеальні математичні форми. На практиці «циліндр» може мати злегка не круглі поперечні перерізи, стінки з нехтовно малою товщиною або торцеві кришки, що впливають на загальну місткість. Циліндричний резервуар для води з товщиною стінок 5 мм і радіусом 0.5 м має внутрішній радіус 0.495 м — внутрішній об’єм становить π × 0.495² × h порівняно із зовнішнім π × 0.5² × h. Для великих ємностей ця різниця мала, але нехтувати нею не можна. Для розрахунків місткості (скільки вміщує ємність) використовуйте внутрішні розміри; для розрахунків об’єму матеріалу (скільки матеріалу потрібно для заповнення твердої форми) використовуйте зовнішні розміри.

Формула сфери дає об’єм суцільної сфери. Для порожнистої сфери (наприклад, м’яча або сферичної оболонки) об’єм замкнутого простору дорівнює (4/3)π(r_inner)³, а об’єм матеріалу оболонки — (4/3)π(r_outer)³ − (4/3)π(r_inner)³. Сферичний резервуар товщиною 1 см із зовнішнім радіусом 1 м має внутрішній радіус 0.99 м; місткість рідини становить (4/3)π(0.99)³ = 4.071 м³, а об’єм матеріалу оболонки — (4/3)π(1.0)³ − 4.071 = 4.189 − 4.071 = 0.118 м³.